3.1　运算器的设计方法

运算器所具有的只是简单的算术、逻辑运算以及移位、计数等功能。计算机中对数据信息加工的基本思想：将各种复杂的运算处理分解为最基本的算术运算和逻辑运算。

运算器逻辑组织结构设计通常可以分为以下层次：

(1)根据机器字长，将N个一位全加器通过加法进位链连接构成N位并行加法器(加快进位的形成)。

(2)利用多路选择逻辑在加法器的输入端实现多种输入组合，将加法器扩展为多功能的算术/逻辑运算部件。

(3)根据乘除运算的算法，将加法器与移位器组合，构成定点乘法器与除法器。将计算定点整数的阶码运算器和计算定点小数的尾数运算器组合构成浮点运算器(软件实现)。

(4)在算术/逻辑运算部件的基础上，配合各类相关的寄存器，构成计算机中的运算器。

3.2　定点补码加减运算

3.2.1　补码加减运算的基础

补码运算指参加运算的操作数均用补码表示，并且运算结果也用补码表示。补码表示可以把减法转换为加法，大大简化了加减运算算法，所以在计算机中均采用补码加减运算。

1.补码加法

$[x]补+[y]补=[x+y]_补(mod)M　(3-1)$

若$x,y$是定点小数，则$Mod=2$；若$x,y$是定点整数，则$Mod=2^n$，$n$为运算器字长。

2.补码减法

$[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补=[x-y]_补　(3-2)$

若$x,y$是定点小数，则$Mod=2$；若$x,y$是定点整数，则$Mod=2^n$，$n$为运算器字长。

补码运算的基本规则：(1)参加运算的各个操作数均以补码表示，运算结果仍以补码表示。(2)符号位与数值位一样参加运算。(3)若求和，则将两补码数直接相加，得到两数之和的补码；若求差，则将减数变补(由$[y]补$求$[-y]补$)，然后与被减数相加，得到两数之差的补码。(4)补码总是对确定的模而言，若运算结果超过模(有从符号位上产生的进位)，则将模自动丢弃。

正(负)溢出：两个正(负)数相加(减)的结果大(小)于机器所能表示的最大(小)正(负)数。出现溢出后，机器将无法表示，因此必须正确判别溢出并及时加以处理。

3.2.2　溢出判断与变形补码

设参加运算的操作数为$[x]补=x_f.x_n\dots x_2x_1,[y]补=yf.y_n\dots y2y1$，$[x]补+[y]补$的和为$[s]补=s_f.s_n\dots s_2s_1$，发生溢出时$OVR=1$。常用的判断溢出的方法如下。

1.根据两个操作数的符号与结果的符号判别溢出

由于都是定点数，所以只有同号相加才可能溢出，溢出的条件为

$OVR=(x_f\oplus s_f)(y_f\oplus s_f)　(3-3)$

即$x_f$和$y_f$均与$s_f$不同时，产生溢出。

2.根据两数相加时产生的进位判别溢出

设$Cf$为符号位上的进位，$C{n-1}$为最高数值位上产生的进位，则溢出的条件为

$OVR=Cf\oplus C{n-1}　(3-4)$

即若进入符号位的进位和从符号位上产生的进位不相等，则产生溢出。

3.采用变形补码进行运算

如果使用两个符号位，即使因出现溢出侵占了一个符号位，仍能保持最左边符号是正确的。

变形补码是用两个符号位表示的补码，也称双符号位补码，其实质是将模扩大。

纯小数的变形补码

$$[x]_{变形补}= \left\{ \begin{aligned} &x　　　　　　　　　0\leq x<1\\ &4+x　　　　　-1\leq x<0 \end{aligned} \right.(Mod4)$$

纯整数的变形补码

$$[x]_{变形补}= \left\{ \begin{aligned} &x　　　　　　　　　　　0\leq x<2^{n-1}\\ &2^{n+1}+x　　　　　-2^{n-1}\leq x<0 \end{aligned} \right.(Mod2^{n+1})$$

变形补码的形式为$[x]{变形补}=x{f1}x{f2}.x_n\dots x_2x_1$，设和的变形补码为$[s]{变形补}=s{f1}s{f2}.s_n\dots s_2s_1$，变形补码的溢出判断条件为

$OVR=s{f1}\oplus s{f2}$

即当结果的两个符号位不一致时，出现溢出，其中$s{f1}s{f2}$为00或11表示正常补码，01表示正溢出，10表示负溢出。

3.2.3　算术逻辑运算部件

运算器的基本功能是进行算术逻辑运算，其最基本也是最核心的部件是加法器。在加法器的输入端加入多种输入控制功能，就能将加法器扩展为多功能的算术/逻辑运算部件。

1.补码加减运算的逻辑实现

根据$[A]补+[B]补=[A+B]补$，$[A]补-[B]补=[A]补+[-B]补=[A]补+[B]补+1=[A-B]补$。

补码加减运算的硬件实现电路基本原理仍是加法器，只要在加法器的$A、B$输入端增加控制信号，即可控制实现加法和减法。因为$B\oplus1=\overline{B}$，所以在需要作减法时，将输入到加法器的$B$端的内容取反后送入加法器，并使最低进位$C_0=1$，即可实现减法运算。

采用串行进位的补码加减运算逻辑电路

M=0，$Bi\oplus0=B_i$，$C_0=0$，作$A+B$；M=1，$B_i\oplus1=B_i$，$C_0=1$，作$A-B$。电路中刚才用进出符号位的进位进行溢出判断$OVR=C_n\oplus C{n-1}$

2.实现补码加减运算逻辑电路

两个操作数需要存放在能连接到ALU的寄存器中，运算时送到运算器中进行运算，运算结果再送到寄存器(称累加寄存器(accumulator))中保存。控制器通过对指令操作码译码得到操作含义，向运算器发出控制信号。

补码加减运算的逻辑电路

3.算术逻辑运算部件举例

算术逻辑运算单元(ALU)是一种以加法器为基础的多功能组合逻辑电路，基本设计思想是在加法器输入端加入一个“函数发生器”，这个函数发生器可以在多个控制信号的控制下，为加法器提供不同的输入函数，从而构成一个具有较完善的算术、逻辑运算功能的运算部件。

3.3　定点乘法运算

计算机中实现乘除运算通常采用三种方式：利用乘除运算子程序；加法器基础上增加左右移位及计数器等逻辑线路构成乘除运算部件；设置专用的阵列乘除运算器。

3.3.1　原码乘法运算

参加运算的被乘数和乘数均用原码表示，运算时符号位单独处理，被乘数与乘数的绝对值相乘，所得的积也采用原码表示。在定点机中，两个数的原码乘法运算包括乘积的符号处理和两数绝对值相乘。

设被乘数$[x]原=x_f.x_1x_2\dots x_n$，乘数$[y]原=yf.y_1y_2\dots y_n$，乘积$[z]原=[x]原\times[y]原=[x\times y]_原=z_f.z_1z_2\dots z_n$。乘积的符号$z_f=x_f\oplus y_f$。

1.一位原码乘法运算

设参加运算的被乘数为$x=0.x_1x_2x_3x_4$，乘数为$y=0.y_1y_2y_3y_4$，有

$$\begin{aligned} x\times y&=x\times0.y_1y_2y_3y_4\\ &=x\times(2^{-1}y_1+2^{-2}y_2+2^{-3}y_3+2^{-4}y_4)\\ &=2^{-1}xy_1+2^{-2}xy_2+2^{-3}xy_3+2^{-4}xy_4\\ &=2^{-1}\{2^{-3}xy_4+2^{-2}xy_3+2^{-1}xy_2+xy_1\}\\ &=2^{-1}\{2^{-1}[2^{-2}xy_4+2^{-1}xy_3+xy_2]+xy_1\}\\ &=2^{-1}\{2^{-1}[2^{-1}(2^{-1}xy_4+xy_3)+xy_2]+xy_1\}\\ &=2^{-1}\{2^{-1}[2^{-1}(2^{-1}<0+xy_4>+xy_3)+xy_2]+xy_1\} \end{aligned}$$

根据上式，可将乘法转换为一系列加法与移位操作，将递推公式推广到n位，得：

$$\begin{aligned} &Z_0=0(初始部分积为0)\\ &Z_1=2^{-1}(Z_0+xy_n)\\ &Z_2=2^{-1}(Z_1+xy_{n-1})\\ &\dots\\ &Z_n=2^{-1}(Z_{n-1}+xy_1)=x\times y \end{aligned}$$

其中$Z_0$到$Z_n$称为部分积。可以把乘法转换为一系列加法与移位操作。

算法：(1)积的符号单独按两操作数的符号异或得到，用被乘数和乘数的数值部分进行运算。(2)以乘数的最低位作为乘法判别位，若判别位为1，则在前次部分积(初始为0)上加上被乘数，然后连同乘数一起右移一位；若判别位为0，则在前次部分积上加0，然后连同乘数一起右移一位。(3)重复第2步直到运算n次为止。n为乘数数值部分的长度，结果存放在累加器(高位部分)和乘数寄存器(低位部分)中。(4)将乘积的符号与数值部分结合，即可得到最终结果。

3.3.2　补码乘法运算

因为补码运算简单，因此不少机器采用补码乘法，常用的有布斯乘法。

1.补码一位乘法

以定点小数为例，设被乘数x的补码为$[x]补=x_0.x_1x_2\dots x_n$，乘数y的补码为$[y]补=y0.y_1y_2\dots y_n$，乘积为$[z]补=[x\times y]_补$。

(1)被乘数x的符号任意，乘数y为正数，即：$[x]补=x_0.x_1x_2\dots x_n$，$[y]补=0.y1y_2\dots y_n$，有$[x]补=2+x=2^{n+1}+x(Mod2)$，$[y]补=y$，$[x]补\times[y]补=2^{n+1}y+x\times y=2\times(y_1y_2\dots y_n)+x\times y(Mod2)$，因为$y_1y_2\dots y_n$为大于0的整数，根据模2性质，$2\times(y_1y_2\dots y_n)=2(Mod2)$，所以$[x]补\times[y]补=2+x\times y=[x\times y]补$，因为$y>0,[y]补=y,y_0=0$，所以$[x\times y]补=[x]补\times[y]补=[x]补\times y=[x]补\times(0.y1y_2\dots y_n)=[x]补\times(\sum_{i=1}^ny_i2^{-i})$。

(2)被乘数x的符号任意，乘数y为负数，即：$[x]补=x_0.x_1x_2\dots x_n$，$[y]补=1.y1y_2\dots y_n=2+y(Mod2)$，因为$y=[y]补-2=0.y1y_2\dots y_n-1$，所以$x\times y=x\times(0.y_1y_2\dots y_n)-x$，得$[x\times y]补=[x\times(0.y1y_2\dots y_n)]补-[x]补$，因为$0.y_1y_2\dots y_n>0$，所以$[x\times(0.y_1y_2\dots y_n)]补=[x]补\times(0.y_1y_2\dots y_n)$，得$[x\times y]补=[x]补\times(0.y_1y_2\dots y_n)-[x]补$。

(3)设被乘数x和乘数y均为任意符号数，将情况1、2综合，得

$$\begin{aligned}{} [x\times y]_补&=[x]_补\times(0.y_1y_2\dots y_n)-[x]_补\times y_0\\ &=[x]_补\times(0.y_1y_2\dots y_n-y_0)\\ &=[x]_补\times(-y_0+\sum_{i=1}^ny_i2^{-i})\\ &=-y_0[x]_补+2^{-1}y_1[x]_补+2^{-2}y_2[x]_补+\dots+2^{-n}y_n[x]_补\\ &=(y_1-y_0)[x]_补+2^{-1}(y_2-y_1)[x]_补\\ &+2^{-2}(y3_y2)[x]_补+\dots+2^{-(n-1)}(y_n-y_{n-1})[x]_补+2^{-n}(y_{n+1}-y_n)[x]_补 \end{aligned}$$

令部分积的初始值$[z0]补=0$，得部分积的递推形式：

$$\begin{aligned}{} &[z_0]_补=0(初始部分积为0)\\ &[z_1]_补=2^{-1}\{[z_0]_补+(y_{n+1}-y_n)[x]_补\}\\ &[z_2]_补=2^{-1}\{[z_1]_补+(y_n-y_{n-1})[x]_补\}\\ &\dots\dots\\ &[z_i]_补=2^{-1}\{[z_{i-1}]_补+(y_{n-i+2}-y_{n-i+1})[x]_补\}\\ &\dots\dots\\ &[z_n]_补=2^{-1}\{[z_{n-1}]_补+(y_2-y_1)[x]_补\}\\ &[z_{n+1}]_补=\{[z_n]_补+(y_1-y_0)[x]_补\}=[x\times y]_补 \end{aligned}$$

补码一位乘法的算法

(1)参加运算的数均以补码表示，符号位参加运算且部分积与被乘数采用双符号位。

(2)乘数末位增设附加位$y{n+1}$，且初始$y{n+1}=0$。

(3)以$yny{n+1}$作为乘法判别位，执行以下操作。

(4)重复上面第(3)步，共做n+1次，最后一次不移位。

补码一位乘法的算法，乘积的符号是在运算过程中自然形成的，不需要加以特别处理，这是与原码乘法的重要区别。

当x=-1，y=-1时，求$[x\times y]_补$所得到的结果为+1，结果溢出无意义，是定点小数补码乘法中唯一的溢出情况。

3.3.3　快速乘法运算

阵列乘法器的基本思想：把大量加法器单元电路按一定阵列形式排列，直接实现手算算式的运算过程，提高速度。

1.不带符号的阵列乘法器

2.带符号的阵列乘法器

多了求补器，可实现原码和补码乘法。

一个二进制对2求补器电路的逻辑表达式为：

$$a_i^*=a_i\oplus EC_{i-1},0\leq i\leq n\\ C_i=a_i+C_{i-1},其中C_{-1}=0$$

$E$为控制信号，0不求补，1求补，可以利用符号位来作为控制信号E。

语法分析的作用：识别单词符号序列是否是给定文法的正确程序。分为自顶向下分析(确定和不确定)，自底向上分析(算符优先和LR分析)。

自顶向下分析法又称面向目标的分析方法，从开始符号出发，企图推导出与输入的单词串完全匹配的句子。确定的方法需要对文法有一定的限制，简单直观；不确定的方法如带回溯的分析方法——穷举的试探法，缺点是效率低、代价高。

4.1　确定的自顶向下分析思想

主要思想：从文法的开始符号出发，如何根据当前的单词符号，唯一地确定选用哪个产生式来替换相应的VN向下推导。

为得到唯一的推导过程，条件为：左部相同的产生式，其右部的首符号集合不相交。

定义：设$G=(V_T,V_N,S,P)$是上下文无关文法，$FIRST(\alpha)={a|\alpha\Rightarrow^a\beta,a\in V_T,\alpha,\beta\in V^}$若$\alpha\Rightarrow^*\epsilon$，则规定$\epsilon\in FIRST(\alpha)$。

为得到唯一的推导过程，条件为：当某一$V_N$的产生式含空产生式，则它的非空产生式的$First$集两两互不相交，且与推导过程中紧跟该$V_N$可能出现的$V_T$集合也不相交。

定义：设$G=(V_T,V_N,S,P)$是上下文无关文法，$A\in V_N$，$S$是开始符号。$FOLLOW(A)={a|S\Rightarrow^\mu A\beta且a\in FIRST(\beta),\mu\in V_T^,\beta\in V^+}$。若$S\Rightarrow^\mu A\beta$，且$\beta\Rightarrow^\epsilon$，则规定$#\in FOLLOW(A)$，$#$作为输入串的结束符，或称为句子括号。

通俗地讲，$FOLLOW(A)={a|S\Rightarrow^\dots Aa\dots,a\in V_T}$，若$S\Rightarrow^\dots A$，则规定$#\in FOLLOW(A)$。

若$A\rightarrow\alpha,A\rightarrow\beta$，其中$A\in V_N,\alpha,\beta\in V_N^*,\alpha$不推导出空，$\beta$能推导出空，则$FIRST(\alpha)\cap((FIRST(\beta)-{\epsilon})\cup FOLLOW(A))=\empty$。

定义：给定上下文无关文法的产生式$A\rightarrow\alpha,A\in V_N,\alpha\in V^*$

若$\alpha\nRightarrow^*\epsilon$，则$SELECT(A\rightarrow\alpha)=FIRST(\alpha)$

若$\alpha\Rightarrow^*\epsilon$，则$SELECT(A\rightarrow\alpha)=(FIRST(\alpha)-{\epsilon})\cup FOLLOW(A)$

可使用自顶向下分析的文法称为$LL(1)$文法。

定义：一个上下文无关文法是$LL(1)$文法的充要条件：对每个$V_N,A$的两个不同产生式$A\rightarrow\alpha,A\rightarrow\beta$，满足$SELECT(A\rightarrow\alpha)\cap SELECT(A\rightarrow\beta)=\empty$，其中，$\alpha、\beta$不能同时推导出$\epsilon$。

2.1　进位计数制与数制转换

任何$R$进制数$N$均可表示为

$$\begin{aligned} (N_R)&=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_1x_0.x_{-1}x_{-2}\cdots x_{-(m-1)}x_{-m}\\ &=\Sigma_{i=-m}^{n-1}x_iR^i\\ &=x_{n-1}R^{n-1}+x_{n-2}R^{n-2}+\cdots+x_0R^0+x_{-1}R^{-1}+\cdots+x_{-(m-1)}R^{-(m-1)}+x_{-m}R^{-m} \end{aligned}$$

$R$：$R$进制的基数，表示数列中各位数字$x_i(-m\leq i\leq n-1)$的取值范围是$0\sim R-1$，并且计数规则是“逢$R$进一”。

$R^i$：位权值，$x_i R^i$表示$x_i$在数列中所代表的实际数值。

任何进位计数制都具有两个基本因素：基值和位权值。

计算机中常用进位计数制有二进制、八进制、十进制、十六进制。

任意进制数转换为十进制数，只需按权相加。

十进制数转换为任意进制数，整数部分除基取余，小数部分乘基取整。

计算机中的数据表示是能够由计算机硬件直接识别的数据类型，如定点数、浮点数、长度、存放格式等。硬件直接识别指某种数据类型可用计算机硬件直接表示出来，并能用计算机指令直接调用。

数据表示需要注意取值范围、精度、类型。

3.1　词法分析程序的设计

词法分析(lexical analysis)功能：逐个读入源程序字符，输出“单词符号”，供语法分析使用。还有滤掉空格，跳过注释、换行符，追踪换行标志，复制出错源程序，宏展开等功能。

3.1.1　词法分析程序和语法分析程序的接口方式

方式一(常用)：词法分析程序扫描整个待编译的程序，输出中间文件二元式(单词种类，值)，作为语法分析程序的输入。优点是整个编译结构简洁、清晰、条理化，可移植性好。

方式二：语法分析程序调用词法分析程序，返回一个单词。

3.1.2　词法分析程序的输出

在识别出单词同时验证其词法正确性后，词法分析程序将结果以单词符号的形式发送至语法分析程序以回应其请求。单词符号一般分为以下5类。

基本字(关键字)：begin, end, if, while

标识符：各种名称，如常量名、变量名、过程名

常数(量)：25, 3.1415, TRUE, “ABC”等

运算符：如 + - * / < <=等

界符：逗号，分号，括号等

词法分析程序所输出的单词符号可以采用以下二元式表示：(单词种别，单词自身的值)

3.1.3　将词法分析工作分离的考虑

把编译过程的分析工作划分成词法分析和语法分析两个阶段，主要考虑因素如下：使整个编译程序的结构更简洁、清晰和条理化；编译程序的效率会改进；增强编译程序的可移植性。

3.1.4　词法分析程序中如何识别单词

描述一个语言的词法规则，通常需要借助形式化或半形式化的描述工具。常见的用于词法规则描述的工具有状态转换图、扩展巴克斯范式(EBNF)、有限状态自动机、正规表达式以及正规文法等。

2.1　文法的直观概念

语言是由句子组成的集合，是一组记号所构成的集合。

语言研究的三个方面：语法(Syntax)：表示构成语言句子的各个记号之间的组合规律；语义(Semantics)：表示按照各种表示方法所表示的各个记号的特定含义。(各个记号和记号所表示的对象之间的关系)；语用(Pragmatics)表示在各个记号所出现的行为中，它们的来源、使用和影响。

如果不考虑语义和语用，只从语法这一侧面来看语言，这种意义下的语言称作形式语言。

形式语言抽象地定义为一个数学系统。

“形式”是指：语言的所有规则只以什么符号串能出现的方式来陈述。

形式语言理论是对符号串集合的表示法、结构及其特性的研究。是程序设计语言语法分析研究的基础。

文法：描述词法、语法规则的工具。用一组规则严格定义句子的结构，即对含有“无穷句子”的语言进行“有穷的表示”。

1.1　什么是编译程序

编译程序又称编译器，是语言的翻译器，将高级语言的源程序翻译成低级语言的目标程序，使编程者不必考虑与机器有关的细节。

1.1　计算机的发展历史

1946年2月15日第一台计算机ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Computer)诞生，发展历程分硬件和软件。

1.1.1　更新换代的计算机硬件

计算机分为5个发展阶段。

1.电子管时代(1946-1959年)

2.晶体管时代(1959-1964年)

3.中、小规模集成电路(MSI、SSI)时代(1964-1975年)

4.超、大规模集成电路(VLSI、LSI)时代(1975-1990年)

5.超级规模集成电路时代

1.1.2　日臻完善的计算机软件

计算机软件的发展与计算机硬件及技术的发展紧密相关。

1.汇编语言阶段(20世纪50年代)

2.程序批处理阶段(20世纪60年代)

3.分时多用户阶段(20世纪70年代)

4.分布式管理阶段(20世纪80年代)

5.软件重用阶段(20世纪90年代)

6.Web服务阶段(21世纪前10年)

7.云计算阶段(2020年)

导数

定义　设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，在点$x_0$处给自变量$x$以增量$\Delta x$(点$x_0+\Delta x$仍在该邻域内)，相应地，函数y有增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果当$\Delta x\rightarrow0$时比值$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限

$$\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限值为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作

$$f'(x_0),y'|_{x=x_0},\frac{dy}{dx}|_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$$

，并称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，如果极限不存在，则不可导。

定理　设函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，则$y=f(x)$必在$x_0$处连续。

连续不一定可导。

基本初等函数导数公式

$$\begin{aligned} &(C')=0;\\ &(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1};\\ &(a^x)'=a^x\ln a;\\ &(e^x)'=e^x;\\ &(\log_a|x|)'=\frac{1}{x\ln a};\\ &(\ln|x|)'=\frac{1}{x};\\ &(\sin x)'=\cos x;\\ &(\cos x)'=-\sin x;\\ &(\tan x)'=\sec^2 x;\\ &(\cot x)'=-\csc^2 x;\\ &(\sec x)'=\sec x\tan x;\\ &(\csc x)'=-\csc x\cot x;\\ &(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};\\ &(\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}};\\ &(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2};\\ &(arc\cot x)'=\frac{-1}{1+x^2};\\ &(shx)'=chx;\\ &(chx)'=shx;\\ &(arcshx)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}};\\ &(arcchx)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}};\\ &(arcthx)'=\frac{1}{1-x^2}; \end{aligned}$$

隐函数

设有方程$F(x,y)=0$，如果对某个区间$I$内的$x$，总存在一个函数$y=y(x)$，使得$F(x,y(x))\equiv0$，则称$y=y(x)$是由方程确定的隐函数。

隐函数求导法则：视方程$F(x,y)=0$中的$y$为$x$函数$y=y(x)$，于是可看成关于$x$恒等式$F(x,y(x))\equiv0$，利用复合函数的求导法则对方程两边求导，解出$y’$即可。

参数方程求导

给定参数方程$\left{\begin{array}{rcl}x=\varphi(t)\y=\psi(t)\end{array}\right.$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}(\varphi’(t)\neq0),\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi’’(t)\varphi’(t)-\psi’(t)\varphi’’(t)}{[\varphi’(t)]^3}(\varphi’(t)\neq0)$。

常用高阶导数

$$\begin{aligned} &(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}\\ &(\frac{1}{x})^{(n)}=(x^{-1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}\\ &(e^{ax})^{(n)}=a^ne^x\\ &(\sin ax)^{(n)}=a^n\sin(ax+\frac{n\pi}{2})\\ &(\cos ax)^{(n)}=a^n\cos(ax+\frac{n\pi}{2})\\ &[\ln(1+x)]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(1+x)^n} \end{aligned}$$

莱布尼茨公式

$$\begin{aligned} &y^{(n)}=(u\cdot v)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}\\ &[u(x)\pm v(x)]^{(n)}=u^{(n)}(x)\pm v^{(n)}(x)\\ &[k\cdot u(x)]^{(n)}=k\cdot u^{(n)}(x)(k为常数) \end{aligned}$$

双曲函数

$$双曲正弦:shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2},D:(-\infin,+\infin),奇函数\\ 双曲余弦:chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2},D:(-\infin,+\infin),偶函数\\ 双曲正切:thx=\frac{shx}{chx}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},D:(-\infin,+\infin),奇函数\\ 双曲余切:cthx=\frac{chx}{shx}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},D:(-\infin,+\infin),偶函数\\ 反双曲正弦:arshx=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),D:(-\infin,+\infin),奇函数\\ 反双曲余弦:archx=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),D:[1,+\infin).\\ 反双曲正切:arthx=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},D:(-1,+1),奇函数\\$$

双曲函数常用公式

$$sh(x\pm y)=shxshy\pm chxchy;\\ ch(x\pm y)=chxchy\pm shxxhy;\\ ch^2x-sh^2x=1;\\ sh2x=2shxchs;\\ ch2x=ch^2x+sh^2x.$$

数列极限

定义　如果对于任意给定的整数$\epsilon$(不论它多么小)，总存在正整数$N$，使得对于$n>N$时的一切$xn$，不等式$|x_n-a|<\epsilon$都成立，那么就称常数$a$是数列$x_n$的极限，或者称数列$x_n$收敛于$a$，记为$\lim{n\rightarrow\infin}=a$，或$x_n\rightarrow a(n\rightarrow\infin)$。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

函数极限

定义　设函数$f(x)$在区间$|x|>a$有定义，$A$为定常数，如果对任意给定的正数$\epsilon$(无论它多么小)，总存在正数$X(>a)$，使当$|x|>X$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$，则称$A$为函数$f(x)$在$x$趋向于无穷大时的极限，记作$\lim_{x\rightarrow\infin}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow+\infin)$。

定义　设函数$f(x)$在$x0$某个去心邻域内有定义，$A$为常数，如果对于任意给定的正数$\epsilon$(不论它多么小)，总存在正数$\delta$，使得对适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$的一切$x$，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\epsilon$，那么常数$A$就叫函数$f(x)$在$x\rightarrow x_0$时的极限，记作$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A$(当$x\rightarrow x_0$)。

无穷小量

定义 如果函数$f(x)$在自变量的某个趋向过程下以零为极限，则称$f(x)$为该趋向过程的无穷小量。

定理　在同一过程中，两个无穷小的和、差仍是无穷小。

定理　在自变量的同一趋向过程下，有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

定理　在自变量的同一趋向过程下，无穷小$\alpha(x)$与极限不等于零的函数$f(x)$的商仍为无穷小。

定理　$limf(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$，其中$lim\alpha(x)=0$。

无穷大量

定义　在自变量的某个趋向过程中，如果对于任意给定的正数$M$(不论它多么大)，总存在一个时刻，自此以后，恒有$|f(x)|>M$，则称函数$f(x)$是这个趋向过程下的无穷大量，简称为无穷大，记为$limf(x)=\infin$。

定理　在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

夹逼准则

定理　设：(1)存在$\eta>0$，使当$0<|x-x0|<\eta$时，有$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$；(2)$\lim{x\rightarrow x0}g(x)=A,\lim{x\rightarrow x0}h(x)=A$。那么当$x\rightarrow x_0$时，$f(x)$的极限存在，且$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。

定理　如果数列$xn,y_n,z_n$满足下列条件：(1)$y_n\leq x_n\leq z_n(n>N)$；(2)$\lim{n\rightarrow\infin}yn=a,\lim{n\rightarrow\infin}zn=a$。那么数列$x_n$的极限存在，且$\lim{n\rightarrow\infin}x_n=a$。

重要极限

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1\\ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}=1\\ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\\ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\arcsin x}{x}=1\\ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\arctan x}{x}=1\\ \lim_{x\rightarrow\infin}(1+\frac{1}{x})^x=e\\ \lim_{t\rightarrow0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e\\ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\\ \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{x}=1$$

无穷小的比较

定义　设$\alpha,\beta$是同一过程中的两个无穷小，且$\alpha\neq0$。

(1)如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta=o(\alpha)$。

(2)如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infin$，则称$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小。

(3)如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=C(C\neq0)$，则称$\beta$与$\alpha$是同阶的无穷小。

特别的，如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=1$，则称$\beta$与$\alpha$是等价的无穷小，记作$\alpha\sim\beta$。

当$x\rightarrow0$时常用的等价无穷小：

$$\sin x\sim x\\ \tan x\sim x\\ 1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2\\ \arcsin x\sim x\\ \arctan x\sim x\\ \ln(1+x)\sim x\\ e^x-1\sim x\\ (1+x)^\mu-1\sim \mu x\\ \sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac{x}{n}$$

定义　如果$\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=C(C\neq0,k>0)$，就说$\beta$是关于$\alpha$的$k$阶的无穷小。

定理　设$\alpha\sim\alpha’,\beta\sim\beta’$且$\lim\frac{\beta’}{\alpha’}$存在，则$\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\beta’}{\alpha}=\lim\frac{\beta}{\alpha’}=\lim\frac{\beta’}{\alpha’}$。

不能滥用，对于代数和中各无穷不能分别替换。

定理　设$\alpha,\beta$是同一趋向过程下的两个无穷小，则$\alpha\sim\beta$的充要条件是$\alpha-\beta=o(\beta)$或$a-\beta=o(\alpha)$。

连续函数

定义　设函数$f(x)$在$U\delta(x_0)$内有定义，如果当自变量的增量$\Delta x$趋向于零时，对应的函数的增量$\Delta y$也趋向于零，即$\lim{\Delta x\rightarrow0}\Delta y=0$或$\lim_{\Delta x\rightarrow0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$连续，$x_0$称为$f(x)$的连续点。

定义　设函数$f(x)$在$U\delta(x_0)$内有定义，如果函数$f(x)$当$x\rightarrow x_0$时的极限存在，且等于它在点$x_0$处的函数值$f(x_0)$，即$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，那么就称函数$f(x)$在$x_0$点连续。

如果$f(x)$在点$x_0$处左、右极限都存在，但$f(x_0-0)\neq f(x_0+0)$，则称点$x_0$为函数$f(x)$的跳跃间断点。

如果$f(x)$在点$x0$处的极限存在，但$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$，或$f(x)$在点$x_0$处无定义，则称点$x_0$为函数$f(x)$的可去间断点。

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，左右极限都存在。

如果函数$f(x)$在$x_0$某个去心邻域内有定义，且当$x\rightarrow x_0$时，$f(x)$左、右极限至少有一个不存在，则称$x_0$为$f(x)$第二类间断点，分无穷间断点和振荡间断点。

定理　单调的连续函数必有单调的连续反函数。

定理(零点定理)　设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号(即$f(a)\cdot f(b)$<0)，那么在开区间$(a,b)$内至少有函数$f(x)$的一个零点，即至少有一点$\xi(a<\xi<b)$，使$f(\xi)=0$。

定理(介值定理)　设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，那么对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi)=C$。

链路层用于在相邻节点之间传输数据帧。

链路层的特点：网络层的分组被封装成链路层的帧；实现设备间帧的传输；各链路(网络)可能采用不同的链路层协议，因此TCP/IP对此层及物理层未做定义。