第1章 行列式

§1　二阶与三阶行列式

定义1　设有9个数排成3行3列的数表

$$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&&&&&(5)\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}$$

记

$$\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right|\\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31},(6)$$

(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式

§2　全排列和对换

一、排列及其逆序数

对于n个不同元素规定一个标准次序，n个元素任一排列中当某对元素先后次序与标准次序不同时，构成一个逆序，逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的叫奇排列，反之为偶排列。

二、对换

排列中，将任意两元素对调，其余元素不动，称为对换。

定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论　奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

§3　n阶行列式的定义

定义2　设有$n^2$个数，排成n行n列的数表

$$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ &\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix}$$

作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号$(-1)^t$，得到形如

$$(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}　　　　　(7)$$

的项，其中$p_1p_2\dots p_n$为自然数$1,2,\dots,n$的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有$n!$个，因而形如(7)式的项共有$n!$项。它们的代数和

$$\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}$$

称为n阶行列式，记作

$$D= \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right|$$

简记$det(a{ij})$，其中数$a{ij}$为行列式D的(i,j)元。

主对角线以上(下)元素都为0的行列式叫上(下)三角行列式；主对角线上下元素都为0的行列式叫对角行列式。

上下三角行列式与对角行列式值都为主对角线上值相乘。

§4　行列式的性质

记

$$D= \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right| ,D^T= \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right|$$

行列式$D^T$称为行列式D的转置行列式。

性质1　行列式与它的转置行列式相等

由此性质可知，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。

性质2　对换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论　如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零。

性质3　行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论　行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

性质4　行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质5　若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：

$$D= \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}+a_{i1}^{'}&a_{i2}+a_{i2}^{'}&\dots&a_{in}+a_{in}^{'}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right|$$

则D等于下列两个行列式之和：

$$D= \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right|+ \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}^{'}&a_{i2}^{'}&\dots&a_{in}^{'}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right|$$

性质6　把行列式某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。

任何行列式总能化为上(下)三角行列式。

§5　行列式按行(列)展开

在n阶行列式中，把(i,j)元$a{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元$a{ij}$的余子式，记作$M{ij}$；记$A{ij}=(-1)^{i+j}M{ij}$，叫做$a{ij}$的代数余子式。

引理　一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元$a{ij}$外都为零，那么这行列式等于$a{ij}$与它的代数余子式的乘积，即$D=a{ij}A{ij}$

定理2　行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

范德蒙德(Vandermonde)行列式

$$D_n= \left| \begin{matrix} 1&1&\dots&1\\ x_1&x_2&\dots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\dots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\dots&x_n^{n-1} \end{matrix} \right|= \prod_{n\geq i>j\geq1}(x_i-x_j),　　　　　(8)$$

推论　行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。