§1 线性方程组和矩阵
一、线性方程组
设有n个未知数m个方程的线性方程组。当常数项不全为零时，线性方程组叫做n元非齐次线性方程组，当常数项全为零时，叫做n元齐次线性方程组
n元齐次线性方程组一定有零解，不一定有非零解。
二、矩阵的定义
定义1 由m$\times$n个数$a_{ij}(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)$排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵。记作
只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量。行数与列数相等的矩阵称为同型矩阵。元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作$O$。
对于非齐次线性方程组，有
其中$A$称为系数矩阵，$x$称为未知数矩阵，$b$称为常数项矩阵，$B$称为增广矩阵。
对角线以外的元素都是0的矩阵称为对角矩阵，记作
线性变换与矩阵一一对应。
对角线全是1，其他全0的矩阵称为单位阵$E$，对应的线性变换称为恒等变换。
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义2 设有两个$m\times n$矩阵$A和B$，它们的和记为$A+B$，规定为
只有同型矩阵可以进行加法运算，满足交换律和结合律。
二、数与矩阵相乘
定义3 数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记作$\lambda A$，规定为
满足结合律和分配律。
三、矩阵与矩阵相乘
定义4 设$A$是一个$m\times s$矩阵，$B$是一个$s\times n$矩阵，规定$A与B$的乘积是一个$m\times n$矩阵$C$，其中
乘积记作$C=AB$，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。
矩阵乘法不满足交换律，满足结合律和分配律。
四、矩阵的转置
定义5 把矩阵$A$的行转换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做$A$的转置矩阵，记作$A^T$。满足以下运算规律：
若$A^T=A$，则$A$称为对称矩阵。
五、方阵的行列式
定义6 由n阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为方阵$A$的行列式，记作$detA$或$|A|$，满足以下性质：
行列式$|A|$的各个元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的如下的矩阵
称为矩阵$A$的伴随矩阵，有$AA^=A^A=|A|E$。
§3 逆矩阵
一、逆矩阵的定义、性质和求法
定义7 对于n阶矩阵$A$，如果有一个n阶矩阵$B$，使$AB=BA=E$，则说矩阵$A$是可逆的，并把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵，简称逆阵。
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵记作$A^{-1}$。
定理1 若矩阵$A$可逆，则$|A|\neq0$。
定理2 若$|A|\neq0$，则矩阵$A$可逆，且$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$，其中$A^$为矩阵$A$的伴随矩阵。
当$|A|=0$时，$A$称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵。由上面两定理可知：$A$是可逆矩阵的充分必要条件是$|A|\neq0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。由定理2，可得下述推论
推论 若$AB=E$(或$BA=E$)，则$B=A^{-1}$
逆矩阵满足下述运算规律：
二、逆矩阵的初步应用
记$\varphi(A)=a_0E+a_1A+\dots+a_mA^m$，称为矩阵A的m次多项式。
§4 克拉默法则
克拉默法则 如果线性方程组的系数矩阵$A$的行列式不等于零，即
那么，方程组有唯一解
其中$A_j$是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即
§5 矩阵分块法
将矩阵$A$用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为$A$的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。