§1 矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i)对换两行(对换i,j两行，记作$r_i\leftrightarrow r_j$)；
(ii)以数$k\neq0$乘某一行中的所有元(第i行乘k，记作$r_i\times k$)；
(iii)把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去(第j行的k倍加到第i行上，记作$r_i+kr_j$)。
把行换成列，即得初等列变换的定义。统称初等变换。
如果$A$经有限次初等变换变成$B$，就称$A$与$B$等价，记作$A\sim B$。矩阵之间的等价关系具有下列性质：
(i)反身性 $A\sim A$；
(ii)对称性 若$A\sim B$，则$B\sim A$；
(iii)传递性 若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$。
定义2 (1)非零矩阵若满足(i)非零行在零行的上面；(ii)非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；
(2)进一步，若$A$是行阶梯形矩阵，并且还满足：(i)非零行的首非零元素为1；(ii)首非零元所在的列的其他元均为0，则称$A$为行最简形矩阵。
对于任何非零矩阵$A_{m\times n}$，总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
对最简形矩阵再施以初等列变换，可化为标准形。对于$m\times n$矩阵$A$，总可经过初等变换把它化为标准形
定理1 设$A$与$B$为$m\times n$矩阵，那么
(i)$A$与$B$行等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵$P$，使$PA=B$；
(ii)$A$与$B$列等价的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵$Q$，使$AQ=B$；
(iii)$A$与$B$等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵$P$及n阶可逆矩阵$Q$，使$PAQ=B$。
定义3 由单位矩阵$E$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
性质1 设$A$是一个$m\times n$矩阵，对$A$施行一次初等行变换，相当于在$A$的左边乘相应的m阶初等矩阵；对$A$施行一次初等列变换，相当于在$A$的右边乘相应的n阶初等矩阵
性质2 方阵$A$可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵$P_1,P_2,\dots,P_l,$使$A=P_1P_2\dots P_l$。
推论 方阵$A$可逆的充分必要条件是$A$和$E$行等价
有可逆矩阵$P$，使$PA=B$，求可逆矩阵$P$：
由于
即$(A,E)$与$(B,P)$行等价，因此如果对矩阵$(A,E)$作初等行变换，当把$A$变为$B$时，$E$就变为$P$。
§2 矩阵的秩
定义4 在$m\times n$矩阵$A$中，任取k行k列，位于这些行列交叉处的$k^2$个元素，不改变它们在$A$中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵$A$的k阶子式。
引理 设$A$与$B$行等价，则$A$与$B$中非零子式的最高阶数相等。
定义5 设在矩阵$A$中有一个不等于0的r阶子式$D$，且所有r+1阶子式全等于0，那么$D$称为矩阵$A$的最高阶非零子式，数r称为矩阵$A$的秩，记作$R(A)$。并规定零矩阵的秩等于0。
对于n阶矩阵$A$，由于$A$的n阶子式只有一个$|A|$，故当$|A|\neq0$时，$R(A)=n$，当$|A|=0$时$R(A)<n$。可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。因此可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵。
定理2 若$A\sim B$，则$R(A)=R(B)$。
推论 若可逆矩阵$P、Q$使$PAQ=B$，则$R(A)=R(B)$。
矩阵的秩的性质归纳：
§3 线性方程组的解
线性方程组如果有解，就称它是相容的，否则称不相容。
定理3 n元线性方程组$Ax=b$
(i)无解的充分必要条件是$R(A)<R(A,b)$;
(ii)有惟一解的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)=n$；
(iii)有无限多解的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)<n$。
定理4 n元齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充分必要条件是$R(A)<n$。
定理5 线性方程组$Ax=b$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)$。
定理6 矩阵方程$AX=B$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A,B)$。
定理7 设$AB=C$，则$R(C)\leq\min{R(A),R(B)}$。