§1 向量组及其线性组合
定义1 n个有次序的数$a_1,a_2,\dots,a_n$所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数$a_i$称为第i个分量。
定义2 给定向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m,$对于任何一组实数$k_1,k_2,\dots,k_m,$表达式
称为向量组$A$的一个线性组合，$k_1,k_2,\dots,k_m$称为这个线性组合的系数。
给定向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$和向量$b$，如果存在一组数$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m,$使
则向量$b$是向量组$A$的线性组合，称向量$b$能由向量组$A$线性表示。
定理1 向量$b$能由向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$线性表示的充分必要条件是矩阵$A=(a_1,a_2,\dots,a_m)$的秩等于矩阵$B=(a_1,a_2\dots,a_m,b)$的秩。
定义3 设有两个向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$及$B:b_1,b_2,\dots,b_l,$若$B$组中的每个向量都能由向量组$A$线性表示，则称向量组$B$能由向量组$A$线性表示。若向量组$A$与向量组$B$都互相线性表示，则称这两个向量组等价。
定理2 向量组$B:b_1,b_2,\dots,b_l$能由向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$线性表示的充分必要条件是矩阵$A=(a_1,a_2,\dots,a_m)$的秩等于矩阵$(A,B)=(a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_l)$的秩，即$R(A)=R(A,B)$。
推论 向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$与向量组$B:b_1,b_2,\dots,b_l$等价的充分必要条件是
其中$A$和$B$是向量组$A$和$B$所构成的矩阵。
定理3 设向量组$B:b_1,b_2,\dots,b_l$能由向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$线性表示，则$R(b_1,b_2,\dots,b_l)\leq R(a_1,a_2,\dots,a_m)$。
§2 向量组的线性相关性
定义4 给定向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m,$如果存在不全为零的数$k_1,k_2,\dots,k_m,$使
则称向量组$A$是线性相关的，否则称它线性无关。
定理4 向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵$A=(a_1,a_2,\dots,a_m)$的秩小于向量个数m；向量组$A$线性无关的充分必要条件是$R(A)=m$。
定理5 (1)若向量组$A:a1,a_2,\dots,a_m$线性相关，则向量组$B:a_1,a_2,\dots,a_m,a{m+1}$也线性相关。反之，若向量组$B$线性无关，则向量组$A$也线性无关。
(2)m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地n+1个n维向量一定线性相关。
(3)设向量组$A:a_1,a_2,\dots,a_m$线性无关，而向量组$B:a_1,a_2,\dots,a_m,b$线性相关，则向量$b$必能由向量组$A$线性表示，且表示式是惟一的。
§3 向量组的秩
定义5 设有向量组$A$，如果在$A$中能选出r个向量$a_1,a_2,\dots,a_r,$满足
(i)向量组$A_0:a_1,a_2,\dots,a_r$线性无关；
(ii)向量组$A$中任意r+1个向量都线性相关，那么称向量组$A_0$是向量组A的一个最大线性无关向量组，最大无关组所含向量个数r称为向量组$A$的秩，记作$R_A$。
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。
推论(最大无关组的等价定义) 设向量组$A_0:a_1,a_2,\dots,a_r$是向量组$A$的一个部分组，且满足
(i)向量组$A_0$线性无关；
(ii)向量组$A$的任何一向量都能由向量组$A_0$表示；
那么向量组$A_0$便是向量组$A$的一个最大无关组。
定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
定理2’ 向量组$b_1,b_2,\dots,b_l$能由向量组$a_1,a_2,\dots,a_m$线性表示的充分必要条件是
定理3’ 若向量组$B$能由向量组$A$线性表示，则$R_B\leq R_A$。
§4 线性方程组的解的结构
设有向量方程$Ax=0$。
性质1 若$x=\xi_1,x=\xi_2$为向量方程的解，则$x=\xi_1+\xi_2$也是向量方程的解。
性质2 若$x=\xi_1$为向量方程的解，k为实数，则$x=k\xi_1$也是向量方程的解。
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。
定理7 设$m\times n$矩阵$A$的秩$R(A)=r,$则n元齐次线性方程组$Ax=0$的解集$S$的秩$R_s=n-r$。
设有向量方程$Ax=b$。
性质3 设$x=\eta_1$及$x=\eta_2$都是向量方程的解，则$x=\eta_1-\eta_2$为对应的齐次线性方程组$Ax=0$的解。
性质4 设$x=\eta$是非齐次方程的解，$x=\xi$是齐次方程的解，则$x=\eta+\xi$仍是非齐次方程的解。
非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。
§5 向量空间
定义6 设$V$为n维向量的集合，如果集合$V$非空，且集合$V$对于向量的加法及数乘两种运算都封闭，那么就称集合$V$为向量空间。
定义7 设有向量空间$V_1$及$V_2$若$V_1\subseteq V_2$，就称$V_1$是$V_2$的子空间。
定义8 设$V$为向量空间，如果r个向量$a_1,a_2,\dots,a_r\in V$，且满足
(i)$a_1,a_2,\dots,a_r$线性无关；
(ii)$V$中任一向量都可由$a_1,a_2,\dots,a_r$线性表示；
那么，向量组$a_1,a_2,\dots,a_r$就称为向量空间$V$的一个基，r称为向量空间$V$的维数，并称$V$为r维向量空间。
定义9 如果在向量空间$V$中取定一个基$a_1,a_2,\dots,a_r,$那么$V$中任一向量$x$可惟一地表示为
数组$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_r$称为向量$x$在基$a_1,a_2,\dots,a_r$中的坐标。
系数矩阵$P=A^{-1}B$称为从旧基到新基的过渡矩阵。$z=P^{-1}y$是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式。