第5章 相似矩阵及二次型

§1　向量的内积、长度及正交性

定义1　设有n维向量

$$x= \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right), y= \left( \begin{matrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{matrix} \right)$$

令$[x,y]=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n$，称为向量$x$与$y$的内积。

内积具有下列性质：

(i)$[x,y]=[y,x]$；

(ii)$[\lambda x,y]=\lambda[x,y]$；

(iii)$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$；

(iv)当$x=0$时，$[x,x]=0$；当$x\neq0$时，$[x,x]>0$。

施瓦茨(Schwarz)不等式$[x,y]^2\leq[x,x][y,y]$。

定义2　令$||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2},||x||$称为n维向量$x$的长度(或范数)。

向量的长度具有下述性质：

(i)非负性　当$x\neq0$时，$||x||>0$；当$x=0$时，$||x||=0$；

(ii)齐次性　$||\lambda x||=|\lambda|||x||$；

当$x\neq0、y\neq0$时，$\theta=arccos\frac{[x,y]}{||x||||y||}$称为n维向量$x$与$y$的夹角。当$[x,y]=0$时，称向量$x$与$y$正交。

定理1　若n维向量$a_1,a_2,\dots,a_r$是一组两两正交的非零向量，则$a_1,a_2,\dots,a_r$线性无关。

定义3　设n维向量$e_1,e_2,\dots,e_r$是向量空间$V(V\subseteq\mathbb{R^n})$的一个基，如果$e_1,e_2,\dots,e_r$两两正交，且都是单位向量，则称$e_1,e_2,\dots,e_r$是$V$的一个标准正交基。

设$e_1,e_2,\dots,e_r$是标准正交集，则任意向量$a$都能由$e_1,e_2,\dots,e_r$线性表示，设为$a=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\dots+\lambda_re_r,$为求其中系数，可用$e_i^T$左乘上式，有$e_i^Ta=\lambda_ie_i^Te_i=\lambda_i,$即$\lambda_i=e_i^Ta=[a,e_i],$这就是向量在标准正交基中的坐标计算公式。

可以用施密特(Schmidt)正交化方法把一个基标准正交化，取：

$$\begin{aligned} &b_1=a_1,\\ &b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1,\\ &\dots\dots\dots\dots\\ &b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}b_1-\dots-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}, \end{aligned}$$

然后把它们单位化，即：

$$e_1=\frac{1}{||b_1||}b_1,e_2=\frac{1}{||b_2||}b_2,\dots,e_r=\frac{1}{||b_r||}b_r$$

就是$V$的一个标准正交基。

定义4　如果n阶矩阵$A$满足$A^TA=E(即A^{-1}=A^T),$那么称$A​$为正交矩阵，简称正交阵。

方阵为正交矩阵的充分必要条件是列向量都是单位向量，且两两正交。

因为$A^TA=E与AA^T=E$等价，所以上述结论对行向量亦成立。

正交矩阵具有以下性质：

(i)若$A$为正交矩阵，则$A^{-1}=A^T$也是正交矩阵，且$|A|=1或(-1)$；

(ii)若$A$和$B$都是正交矩阵，则$AB$也是正交矩阵。

定义5　若$P$为正交矩阵，则线性变换$y=Px$称为正交变换。

设$y=Px$为正交变换，则有$||y||=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TP^TPx}=sqrt{x^Tx}=||x||$。

说明经正交变换线段长度不变。

§2　方阵的特征值与特征向量

定义6　设$A$是n阶矩阵，如果数$\lambda$和n维非零列向量$x$使关系式

$$Ax=\lambda x　　　　　(1)$$

成立，那么，这样的数$\lambda$称为矩阵$A$的特征值，非零向量$x$称为$A$的对应于特征值$\lambda$的特征向量。(1)式也可写成$(A-\lambda E)x=0$。它有非零解的充分必要条件是系数行列式$|A-\lambda E|=0$，称为矩阵$A$的特征方程，方程左端称为矩阵$A$的特征多项式。n阶矩阵在复数范围内有n个特征值。

设n阶矩阵$A=(a_{ij})​$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,​$不难证明

(i)$\lambda1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=a{11}+a{22}+\dots+a{nn}$；

(ii)$\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n=|A|$。

可知$A$是可逆矩阵的充要条件是n个特征值全不为零。

定理2　设$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$是方阵$A$的m个特征值，$p_1,p_2,\dots,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$各不相等，则$p_1,p_2,\dots,p_m$线性无关。

推论　设$\lambda_1$和$\lambda_2$是方阵的两个不同特征值，$\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$和$\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t$分别是对应于$\lambda_1$和$\lambda_2$的线性无关的特征向量，则$\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s,\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t$线性无关。

§3　相似矩阵

定义7　设$A、B$都是n阶矩阵，若有可逆矩阵$P$使$P^{-1}AP=B$，则称$B$是$A$的相似矩阵，或说矩阵$A$与$B$相似。对$A$进行运算$P^{-1}AP$称为对$A$进行相似变换，可逆矩阵$P$称为把$A$变成$B$的相似变换矩阵。

定理3　若n阶矩阵$A$与$B$相似，则$A$与$B$的特征多项式相同，从而$A$与$B$特征值亦相同。

推论　若n阶矩阵$A$与对角矩阵

$$\Lambda= \left( \begin{matrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{matrix} \right)$$

相似，则$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n​$即是$A​$的n个特征值

定理4　n阶矩阵$A$与对角矩阵相似(即$A$能对角化)的充分必要条件是$A$有n个线性无关的特征向量。

推论　如果n阶矩阵$A$的n个特征值互不相等，则$A$与对角矩阵相似。

§4　对称矩阵的对角化

性质1　对称矩阵的特征值为实数。

性质2　设$\lambda_1,\lambda_2$是对称矩阵$A$的两个特征值，$p_1,p_2$是对应的特征向量。若$\lambda_1\neq\lambda_2$，则$p_1$与$p_2$正交。

定理5　设$A$为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵$P$，使$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$，其中$\Lambda$是以$A$的n个特征值为对角元的对角矩阵。

推论　设$A$为n阶对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征方程的k重根，则矩阵$A-\lambda E$的秩$R(A-\lambda E)=n-k$，从而对应特征值$\lambda$恰有k个线性无关的特征向量。

把对称矩阵$A$对角化的步骤：

(i)求出$A$的全部互不相等的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s,$他们的重数依次为$k_1,\dots,k_s(k_1+\dots+k_s=n)$。

(ii)对每个$k_i$重特征值$\lambda_i,$求方程$(A-\lambda_iE)x=0$的基础解系，得$k_i$个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化，得$k_i$个两两正交的单位特征向量。因$k_1+\dots+k_s=n$，故总共可得n个两两正交的单位特征向量。

(iii)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵$P$，便有便有$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$。注意$\Lambda$中对角元的排列次序应与$P$中列向量的排列次序相对应。

§5　二次型及其标准形

定义8　含有n个变量$x_1,x_2,\dots,x_n​$的二次齐次函数

$$\begin{aligned} f(x_1,x_2,\dots,x_n)=&a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\dots+a_{nn}x_n^2+\\ &2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\dots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n　　　　　(5) \end{aligned}$$

称为二次型。当$j>i$时，取$a{ji}=a{ij}$，则$2a{ij}x_ix_j=a{ij}xix_j+a{ji}x_jx_i$，于是(5)可写成

$$\begin{aligned} f=&a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\dots+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\dots+a_{2n}x_2x_n+\dots+\\ &a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\dots+a_{nn}x_n^2=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j　　　　　(6) \end{aligned}$$

只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。

如果标准形的系数只在1，-1，0三个数中取值，称为二次型的规范形。

二次型可用矩阵记作

$$f=x^TAx　　　　　(8)$$

其中$A$为对称矩阵。

定义9　设$A$和$B$是n阶矩阵，若有可逆矩阵$C$，使$B=C^TAC$，则称矩阵$A$与$B$合同。

对于对称矩阵$A$，寻求可逆矩阵$C$，使$C^TAC$为对角矩阵。这个问题称为把对称矩阵$A$合同对角化。

定理6　任给二次型$f=\sum{i,j=1}^na{ij}xix_j(a{ij}=a_{ji})$，总有正交变换$x=Py$，使$f$化为标准形

$$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2$$

其中$\lambda1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$是$f$的矩阵$A=(a{ij})$的特征值。

推论　任给n元二次型$f(x)=x^TAx(A^T=A)$，总有可逆变换$x=Cz$，使$f(Cz)$为规范形。

§6　用配方法化二次型成标准形

拉格朗日配方法。

例15　化二次型$f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3$为标准形并求所用的变换矩阵。

配方为$f=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2$

令$y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+2x_3,y_3=x_3$,就化为标准形$f=y_1^2+y_2^2$。所用变换矩阵为

$$C= \left( \begin{matrix} 1&-1&1\\ 0&1&-2\\ 0&0&1 \end{matrix} \right)$$

§7　正定二次型

定理7　设二次型$f=x^TAx$的秩为r，且有两个可逆变换

$$x=Cy及x=Pz\\ f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\dots+k_ry_r^2(k_i\neq0)及f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\dots+\lambda_rz_r^2(\lambda_i\neq0)$$

则$k_1,\dots,k_r$中正数的个数与$\lambda_1,\dots,\lambda_r$中正数的个数相等。称为惯性定理。

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。

定义10　设二次型$f(x)=x^TAx$，如果对任何$x\neq0$，都有$f(x)>0$，则称f为正定二次型，并称对称矩阵$A$是正定的；如果对任何$x\neq0$都有$f(x)<0$，则称f为负定二次型，并称对称矩阵$A$是负定的。

定理8　n元二次型$f=x^TAx$为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正，即它的规范形的n个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于n。

推论　对称矩阵$A$为正定的充分必要条件是：$A$的特征值全为正。

定理9　对称矩阵$A$为正定的充分必要条件是：$A$的各阶主子式都为正，即

$$a_{11}>0, \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right|>0,\dots, \left| \begin{matrix} a_{11}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{nn} \end{matrix} \right|>0$$

对称矩阵$A$为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即

$$(-1)^r \left| \begin{matrix} a_{11}&\dots&a_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{r1}&\dots&a_{rr} \end{matrix} \right|>0(r=1,2,\dots,n)$$

这个定理称为赫尔维茨定理。