§1 线性空间的定义与性质
定义1 设$V$是一个非空集合，$\mathbb{R}$为实数域。如果在$V$中定义了一个加法，即对于任意两个元素$\alpha,\beta\in V$，总有惟一的一个元素$\gamma\in V$与之对应，称为$\alpha$与$\beta$的和，记作$\gamma=\alpha+\beta$；在$V$中又定义了一个数的乘法(简称数乘)，即对于任一数$\lambda\in\mathbb{R}$与任意元素$\alpha\in V$，总有惟一的一个元素$\delta\in V$与之对应，称为$\lambda$与$\alpha$的数量乘积，记作$\delta=\lambda\alpha$，并且这两种运算满足以下八条运算规律(设$\alpha、\beta、\gamma\in V,\lambda、\mu\in\mathbb{R}$)：
(i)$\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
(ii)$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$；
(iii)在$V$中存在零元素0，对任何$\alpha\in V$，都有$\alpha+0=\alpha$；
(iv)对任何$\alpha\in V$，都有$\alpha$的负元素$\beta\in V$，使$\alpha+\beta-0$；
(v)$1\alpha=\alpha$；
(vi)$\lambda(\mu\alpha)=(\lambda\mu)\alpha$；
(vii)$(\lambda+\mu)\alpha=\lambda\alpha+\mu\alpha$；
(viii)$\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$；
那么就称$V$为(实数域$\mathbb{R}$上的)向量空间(或线性空间)，$V$中的元素不论其本来的性质如何，统称为(实)向量。
线性空间的性质：
1.零向量是惟一的.
2.任一向量的负向量是惟一的，$\alpha$的负向量记作$-\alpha$.
3.$0\alpha=0,(-1)\alpha=-\alpha,\lambda0=0.$
4.如果$\lambda\alpha=0$，则$\lambda=0$或$\alpha=0$.
定义2 设$V$是一个线性空间，$L$是$V$的一个非空子集，如果$L$对于$V$中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称$L$为$V$的子空间。
定理1 线性空间$V$的非空子集$L$构成子空间的充分必要条件是：$L$对于$V$中的线性运算封闭。
§2 维数、基与坐标
定义3 在线性空间$V$中，如果存在n个向量$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$，满足：
(i)$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$线性无关；
(ii)$V$中任一向量$\alpha$总可由$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$线性表示，
那么$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$就称为线性空间$V$的一个基，n称为线性空间$V$的维数。只含一个零向量的线性空间没有基，规定它的维数为0。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作$V_n$。
定义4 设$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$是线性空间$V_n$的一个基，对于任一向量$\alpha\in V_n$，总有且仅有一组有序数$x_1,x_2,\dots,x_n$使$\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n,x_1,x_2,\dots,x_n$这组有序数就称为向量$\alpha$在$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$这个基中的坐标，并记作$\alpha=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$。
设$V$与$U$是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间$V$与$U$同构。维数相等的线性空间都同构。
§3 基变换与坐标变换
定理2 设$V_n$中的向量$\alpha$在基$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$中的坐标为$(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$，在基$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$中的坐标为$\alpha=(x_1’,x_2’,\dots,x_n’)^T$。若两个基满足关系式$(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)P$，则有坐标变换公式
§4 线性变换
定义5 设有两个非空集合$A,B,$如果对于$A$中任一元素$\alpha,$按照一定的规则，总有$B$中一个确定的元素$\beta$和它对应，那么，这个对应规则称为从集合$A$到集合$B$的映射。常用字母表示一个映射，譬如把上述映射记作$T$，并记
定义6 设$V_n,U_m$分别是n维和m维线性空间，$T$是一个从$V_n$到$U_m$的映像，如果映射$T$满足：
(i)任给$\alpha_1、\alpha_2\in V_n$(从而$\alpha_1+\alpha_2\in V_n$),有$T(\alpha_1+\alpha_2)=T(\alpha_1)+T(\alpha_2)$；
(ii)任给$\alpha\in V_n$，$\lambda\in\mathbb{R}$(从而$\lambda\alpha\in V_n$)，有$T(\lambda\alpha)=\lambda T(\alpha)$，
那么就称$T$为从$V_n$到$U_m$的线性映射，或线性变换。
线性变换具有下述基本性质：
(i)$T0=0,T(-\alpha)=-T\alpha$。
(ii)若$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_m\alpha_m,$则$T\beta=k_1T\alpha_1+k_2T\alpha_2+\dots+k_mT\alpha_m$。
(iii)若$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$线性相关，则$T\alpha_1,T\alpha_2,\dots,T\alpha_m$亦线性相关。
(iv)线性变换$T$的像集$T(V_n)$是一个线性空间，称为线性变换$T$的像空间。
(v)使$T\alpha=0$的$\alpha$的全体$N_T={\alpha|\alpha\in V_n,T\alpha=0}$也是一个线性空间。$N_T$称为线性变换$T$的核。
§5 线性变换的矩阵表示式
定义7 设$T$是线性空间$V_n$中的线性变换，在$V_n$中取定一个基$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,$如果这个基在变换$T$下的像(用这个基线性表示)为
记$T(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=(T(\alpha_1)，T(\alpha_2),\dots,T(\alpha_n)),$上式表示为$T(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)A,$其中
那么$A$就称为线性变换$T$在基$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$下的矩阵。
定理3 设线性空间$V_n$中取定两个基
由基$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$的过渡矩阵为$P，V_n$中的线性变换$T$在这两个基下的矩阵依次为$A$和$B$，那么$B=P^{-1}AP$。
定义8 线性变换$T$的像空间$T(V_n)$的维数，称为线性变换$T$的秩。
显然，若$A$是$T$的矩阵，则$T$的秩就是$R(A)$。
若$T$的秩为r，则$T$的核$N_T$的维数为n-r。