双曲函数
双曲函数常用公式
数列极限
定义 如果对于任意给定的整数$\epsilon$(不论它多么小)，总存在正整数$N$，使得对于$n>N$时的一切$xn$，不等式$|x_n-a|<\epsilon$都成立，那么就称常数$a$是数列$x_n$的极限，或者称数列$x_n$收敛于$a$，记为$\lim{n\rightarrow\infin}=a$，或$x_n\rightarrow a(n\rightarrow\infin)$。如果数列没有极限，就说数列是发散的。
函数极限
定义 设函数$f(x)$在区间$|x|>a$有定义，$A$为定常数，如果对任意给定的正数$\epsilon$(无论它多么小)，总存在正数$X(>a)$，使当$|x|>X$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$，则称$A$为函数$f(x)$在$x$趋向于无穷大时的极限，记作$\lim_{x\rightarrow\infin}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow+\infin)$。
定义 设函数$f(x)$在$x0$某个去心邻域内有定义，$A$为常数，如果对于任意给定的正数$\epsilon$(不论它多么小)，总存在正数$\delta$，使得对适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$的一切$x$，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\epsilon$，那么常数$A$就叫函数$f(x)$在$x\rightarrow x_0$时的极限，记作$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A$(当$x\rightarrow x_0$)。
无穷小量
定义 如果函数$f(x)$在自变量的某个趋向过程下以零为极限，则称$f(x)$为该趋向过程的无穷小量。
定理 在同一过程中，两个无穷小的和、差仍是无穷小。
定理 在自变量的同一趋向过程下，有界变量与无穷小的乘积是无穷小。
定理 在自变量的同一趋向过程下，无穷小$\alpha(x)$与极限不等于零的函数$f(x)$的商仍为无穷小。
定理 ，其中。
无穷大量
定义 在自变量的某个趋向过程中，如果对于任意给定的正数$M$(不论它多么大)，总存在一个时刻，自此以后，恒有$|f(x)|>M$，则称函数$f(x)$是这个趋向过程下的无穷大量，简称为无穷大，记为$limf(x)=\infin$。
定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。
夹逼准则
定理 设：(1)存在$\eta>0$，使当$0<|x-x0|<\eta$时，有$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$；(2)$\lim{x\rightarrow x0}g(x)=A,\lim{x\rightarrow x0}h(x)=A$。那么当$x\rightarrow x_0$时，$f(x)$的极限存在，且$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。
定理 如果数列$xn,y_n,z_n$满足下列条件：(1)$y_n\leq x_n\leq z_n(n>N)$；(2)$\lim{n\rightarrow\infin}yn=a,\lim{n\rightarrow\infin}zn=a$。那么数列$x_n$的极限存在，且$\lim{n\rightarrow\infin}x_n=a$。
重要极限
无穷小的比较
定义 设$\alpha,\beta$是同一过程中的两个无穷小，且$\alpha\neq0$。
(1)如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta=o(\alpha)$。
(2)如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infin$，则称$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小。
(3)如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=C(C\neq0)$，则称$\beta$与$\alpha$是同阶的无穷小。
特别的，如果$\lim\frac{\beta}{\alpha}=1$，则称$\beta$与$\alpha$是等价的无穷小，记作$\alpha\sim\beta$。
当$x\rightarrow0$时常用的等价无穷小：
定义 如果$\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=C(C\neq0,k>0)$，就说$\beta$是关于$\alpha$的$k$阶的无穷小。
定理 设$\alpha\sim\alpha’,\beta\sim\beta’$且$\lim\frac{\beta’}{\alpha’}$存在，则$\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\beta’}{\alpha}=\lim\frac{\beta}{\alpha’}=\lim\frac{\beta’}{\alpha’}$。
不能滥用，对于代数和中各无穷不能分别替换。
定理 设$\alpha,\beta$是同一趋向过程下的两个无穷小，则$\alpha\sim\beta$的充要条件是$\alpha-\beta=o(\beta)$或$a-\beta=o(\alpha)$。
连续函数
定义 设函数$f(x)$在$U\delta(x_0)$内有定义，如果当自变量的增量$\Delta x$趋向于零时，对应的函数的增量$\Delta y$也趋向于零，即$\lim{\Delta x\rightarrow0}\Delta y=0$或$\lim_{\Delta x\rightarrow0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$连续，$x_0$称为$f(x)$的连续点。
定义 设函数$f(x)$在$U\delta(x_0)$内有定义，如果函数$f(x)$当$x\rightarrow x_0$时的极限存在，且等于它在点$x_0$处的函数值$f(x_0)$，即$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，那么就称函数$f(x)$在$x_0$点连续。
如果$f(x)$在点$x_0$处左、右极限都存在，但$f(x_0-0)\neq f(x_0+0)$，则称点$x_0$为函数$f(x)$的跳跃间断点。
如果$f(x)$在点$x0$处的极限存在，但$\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$，或$f(x)$在点$x_0$处无定义，则称点$x_0$为函数$f(x)$的可去间断点。
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，左右极限都存在。
如果函数$f(x)$在$x_0$某个去心邻域内有定义，且当$x\rightarrow x_0$时，$f(x)$左、右极限至少有一个不存在，则称$x_0$为$f(x)$第二类间断点，分无穷间断点和振荡间断点。
定理 单调的连续函数必有单调的连续反函数。
定理(零点定理) 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号(即$f(a)\cdot f(b)$<0)，那么在开区间$(a,b)$内至少有函数$f(x)$的一个零点，即至少有一点$\xi(a<\xi<b)$，使$f(\xi)=0$。
定理(介值定理) 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，那么对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi)=C$。